麦考利久期与到期收益率

麦考利久期（Macaulay duration）是衡量债券现金流支付相对时间的加权平均值，它是评价债券价格变动对市场利率的敏感性的重要指标。与之相关的还有到期收益率，即债券到期时实际获得的收益率。

1. 麦考利久期的定义和计算公式

麦考利久期定义为债券价格的加权平均期限，根据债券的各期现金流于期限的乘积与债券现值之和的比值计算得出。

计算公式为：

Dmac = Σ[ t * PV(Ct) ] / P

其中Dmac表示麦考利久期；PV(Ct)表示在时间t可收到现金流的现值；P表示当前债券的市场价格。

2. 麦考利久期的意义和作用

麦考利久期可以衡量债券价格对市场利率变动的敏感性。当市场利率上升时，债券价格通常会下降；当市场利率下降时，债券价格通常会上升。麦考利久期越长，说明债券价格对市场利率变动的敏感性越高。

麦考利久期还可以用于估计债券价格的变动幅度。根据久期定理，债券价格的变动与麦考利久期和利率变动的乘积成正比，即ΔP ≈ -Dmac * Δy。这个公式表明，麦考利久期越长，债券价格对利率变动的敏感性越高。

3. 修正久期的概念和计算方法

修正久期是对于给定的到期收益率的微小变动，债券价格的相对变动与其麦考利久期的比例。修正久期考虑了到期收益率的影响，可以更准确地估计债券价格的变动。

修正久期的计算公式为：

Duration = Dmac / (1 + y)

其中Duration表示修正久期，y表示年化到期收益率。

需要注意的是，如果债券每半年支付一次息票，则修正久期的计算公式为：

Duration = Dmac / (1 + y/2)

4. 麦考利久期与到期收益率之间的关系

麦考利久期与到期收益率之间存在着一种近似的比例关系。当投资期与麦考利久期完全相等时，即到期收益率等于债券的市场利率时，利率的再投资风险和价格风险完全抵消。

5. 应用实例：计算麦考利久期

假设某债券剩余期限为4年，面值为100元，票面利率为2.95%，票息支付每年2次，到期收益率为3.8%（连续复利）。我们可以使用以下函数来计算该债券的麦考利久期：

def macaulay_duration(face_value, coupon_rate, payment_frequency, remaining_years, market_yield): duration = 0 for t in range(1, remaining_years * payment_frequency + 1): cash_flow = (face_value * coupon_rate / payment_frequency) present_value = cash_flow / (1 + (market_yield / payment_frequency)) ** t duration += t * present_value return duration / face_value

6. 案例分析：计算修正久期

如果一支债券的现值为93.06元，在第一年末第一笔利息为5.46元，第二年末本金和利息一共87.60元，则其麦考利久期为：

Duration = (1 * 5.46 + 2 * 87.60) / 93.06 = 1.47 years

这表明1个BP的连续复利△y的变动会导致债券价格变动1.47%。

麦考利久期与到期收益率是评价债券价格变动对市场利率敏感性的重要指标。麦考利久期衡量了债券现金流支付相对时间的加权平均值，可以用于估计债券价格随市场利率变动而产生的变动幅度。修正久期则考虑了到期收益率的影响，更准确地衡量了债券价格对利率变动的敏感性。